스토리 ①. 정답을 찾는 여정 — 목적지의 정의(수식 1)와 그곳으로 가는 고행(수식 2)
10부작 기승전결의 ‘기(起)’입니다. 정답이 무엇인지 정의하고(수식 1), 그 정답을 실제로 찾아가는 느리지만 정확한 과정(수식 2)을 하나의 여정으로 잇습니다.
장면 1
목적지의 정의 — “완벽한 온도”는 존재한다 (수식 1)
z* = fθ(z*, x)
이야기는 ‘정답이란 무엇인가’라는 정의에서 시작합니다. 샤워기(f_θ)에 다시 넣어도 온도가 변하지 않는 상태 — 그 완벽한 온도 z*가 DEQ의 정답입니다. 층을 무한히 쌓는 대신 이 평형점을 직접 찾기에, 이론상 무한 깊이의 추론이 O(1) 메모리로 가능합니다. 그런데 문제가 하나 있습니다. 존재한다는 것과 찾았다는 것은 다릅니다.
🔗 연결 고리: 수식 1은 “과녁의 정중앙이 어디인지”를 정의할 뿐, 총알을 어떻게 그곳에 맞출지는 말해주지 않습니다. 그래서 수식 2가 등장합니다.
장면 2
목적지로 가는 길 — 영점 조절 100번의 고행 (수식 2)
z(t+1) = z(t) − B(t)(fθ(z(t),x) − z(t))
내가 쏜 곳과 조준점의 오차를 재고, 영점 조절 나사 B^(t)를 그만큼 돌려 다음 조준점을 수정합니다. 이걸 50~100번 반복해야 비로소 정중앙(z*)에 도달합니다. 정확하지만 느린 이 과정이 바로 System 2 숙고입니다. 더 나쁜 건, 비슷한 질문이 와도 매번 처음부터 다시 쏜다는 것 — 논문이 ‘시간의 저주(temporal curse)’라 부르는 병목입니다.
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한 장면으로 잇기 — 과녁을 지나 온도계까지
왼쪽 과녁에서 오차를 재고 나사를 돌리는 반복(수식 2)이 26.8초의 고행을 거쳐, 오른쪽 ‘다시 넣어도 변하지 않는’ 완벽한 온도 z*(수식 1)에 도달합니다.
이 여정의 가격표: 반복 T > 50, 최대 100회, 쿼리당 26.8초 ± 1.4, 비용 O(T·(S²d+M_broyden)). 대신 보상도 확실합니다 — 정확도 64.9%(성능 상한)와 시퀀스 길이 무관 Peak VRAM 13.1 GB. 문제는 비슷한 질문마다 이 값을 매번 다시 지불한다는 것이고, 그 낭비를 해결하는 것이 다음 스토리(수식 3·4·5·9)입니다.